Дано:
S - площадь равнобедренного треугольника. α - угол между боковыми сторонами треугольника.
Найти:
S_пов - площадь поверхности тела вращения.
Решение:
Равнобедренный треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при основании перпендикулярно основанию. В результате получится конус.
Площадь треугольника S = (1/2) * a * h, где a - основание, h - высота, опущенная на основание.
В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной основания и боковой стороной, имеем:
sin(α/2) = h / b => h = b * sin(α/2) cos(α/2) = a/2 / b => b = a / (2*cos(α/2))
Подставим выражение для b в h: h = [a / (2*cos(α/2))] * sin(α/2) = (a/2) * tg(α/2)
Площадь треугольника:
S = (1/2) * a * h => S = (1/2) * a * [(a/2) * tg(α/2)] = (a² * tg(α/2)) / 4
Из выражения для S найдем a:
a = 2 * sqrt(S / (tg(α/2) / 2)) = 2 * sqrt(2S / tg(α/2))
Радиус основания конуса R = h = (a/2) * tg(α/2).
Образующая конуса l = b = a / (2cos(α/2)).
Площадь боковой поверхности конуса:
S_пов = πRl = π * [(a/2) * tg(α/2)] * [a / (2cos(α/2))] = (πa² tg(α/2)) / (4cos(α/2))
Ответ:
(πa² tg(α/2)) / (4cos(α/2)) (где a определяется из площади треугольника, a = 2 * sqrt(S / (tg(α/2) / 2)))