Дано:
- Радиус основания цилиндра r = 13 см.
- Высота цилиндра h = 32 см.
- Сторона AD в 4 раза меньше стороны AB.
Найти: площадь прямоугольника ABCD.
Решение:
1. Обозначим сторону AB как x. Тогда сторона AD будет равна x / 4.
2. Площадь прямоугольника ABCD можно вычислить по формуле:
S = AB * AD.
Подставим выражения для сторон:
S = x * (x / 4) = x^2 / 4.
3. Теперь найдем длину стороны AB, используя радиус основания цилиндра. Вершины A и D находятся на окружности нижнего основания, а вершины B и C – на верхнем.
4. Длина отрезка AD должна соответствовать хордовой длине в окружности радиуса r, где угол между радиусами OA и OD равен θ. С учетом того, что AD = x / 4, можем использовать тригонометрические соотношения.
5. Чтобы максимизировать AD, сторона AB должна быть перпендикулярна радиусу, проведенному к середине AD. При этом:
AD = 2 * r * sin(θ/2),
где 2r – диаметр окружности.
6. Из уравнения получаем:
x / 4 = 2 * r * sin(θ/2).
7. Подставляем значение r:
x / 4 = 2 * 13 * sin(θ/2),
x = 104 * sin(θ/2).
8. Теперь подставим значение x в формулу площади S:
S = (104 * sin(θ/2))^2 / 4,
S = 10816 * sin^2(θ/2) / 4,
S = 2704 * sin^2(θ/2).
9. Чтобы определить максимальное значение площади, значение sin(θ/2) должно быть максимально равным 1. Таким образом:
S_max = 2704.
Ответ: площадь прямоугольника ABCD равна 2704 см².