Дано:
- Угол между диагональю развертки боковой поверхности цилиндра и стороной развёртки, равной длине окружности основания цилиндра, равен a.
Найти: угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания (обозначим его β).
Решение:
1. Рассмотрим развертку боковой поверхности цилиндра. Она образует квадрат, сторона которого равна длине окружности основания цилиндра, то есть 2 * π * r, где r - радиус основания.
2. В этом квадрате проведем диагональ, которая соединяет противоположные углы квадрата. Длина диагонали D можно найти по формуле:
D = sqrt((2 * π * r)^2 + (2 * π * r)^2) = sqrt(2 * (2 * π * r)^2) = 2 * π * r * sqrt(2).
3. Угол a между диагональю и стороной квадрата (которая равна длине окружности) можно выразить через тангенс:
tan(a) = противолежащий катет / прилежащий катет.
Противолежащий катет будет равен высоте цилиндра h, а прилежащий катет - длине стороны, равной длине окружности, то есть 2 * π * r:
tan(a) = h / (2 * π * r).
4. Теперь найдем угол β между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания. В осевом сечении также образуется прямоугольный треугольник, в котором одна сторона равна h (высота), а другая - r (радиус). Угол β можем найти аналогично:
tan(β) = h / r.
5. Заменим h из первого уравнения:
h = (2 * π * r) * tan(a).
6. Подставляем значение h в уравнение для β:
tan(β) = ((2 * π * r) * tan(a)) / r,
tan(β) = 2 * π * tan(a).
7. Тогда угол β можно выразить как:
β = arctan(2 * π * tan(a)).
Ответ: угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания равен arctan(2 * π * tan(a)) радиан.