Дано:
- Развертка боковой поверхности цилиндра является квадратом.
Найти: угол между диагоналями осевого сечения цилиндра.
Решение:
1. Обозначим радиус основания цилиндра как r и высоту цилиндра как h. Так как развертка боковой поверхности является квадратом, длина стороны квадрата равна периметру основания цилиндра, который равен 2 * π * r, а высота квадрата равна h.
2. Для того чтобы развертка боковой поверхности образовывала квадрат, должно выполняться условие:
2 * π * r = h.
3. В осевом сечении цилиндра мы можем выделить прямоугольный треугольник, где:
- одна сторона равна высоте h (высота цилиндра),
- другая сторона равна диаметру основания 2 * r.
4. Тогда в этом треугольнике гипотенуза будет равна:
L = sqrt((2 * r)^2 + h^2).
5. Поскольку h = 2 * π * r, подставляем h в уравнение для L:
L = sqrt((2 * r)^2 + (2 * π * r)^2)
= sqrt(4 * r^2 + 4 * π^2 * r^2)
= sqrt(4 * r^2 * (1 + π^2))
= 2 * r * sqrt(1 + π^2).
6. Теперь найдем угол между диагоналями осевого сечения. Угол между диагоналями сечения можно определить через тангенс угла α, который равен отношению высоты к половине диаметра:
tan(α) = h / (r)
7. Подставим значение h:
tan(α) = (2 * π * r) / (r) = 2 * π.
8. Чтобы найти угол α, используем арктангенс:
α = arctan(2 * π).
Ответ: угол между диагоналями осевого сечения цилиндра равен arctan(2 * π) радиан или примерно 1.57 рад.