Дано:
Точка A (4; 3; -6) — основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную плоскость.
Точка O (0; 0; 0) — начало координат.
Найти: уравнение плоскости, на которую опущен перпендикуляр из точки O, и основание перпендикуляра находится в точке A.
Решение:
1. Плоскость можно задать уравнением:
Ax + By + Cz = D,
где (A, B, C) — координаты нормального вектора плоскости.
2. Вектор нормали к плоскости можно найти через вектор OA, соединяющий начало координат O (0; 0; 0) с точкой A (4; 3; -6).
Вектор OA = (4; 3; -6).
3. Таким образом, нормальный вектор плоскости будет:
n = (4; 3; -6).
4. Плоскость проходит через точку A (4; 3; -6), поэтому подставим координаты точки A в уравнение плоскости, чтобы найти D:
A(4) + B(3) + C(-6) = D,
4A + 3B - 6C = D.
5. Так как нормальный вектор к плоскости (A, B, C) совпадает с координатами вектора OA (4; 3; -6), мы подставляем A = 4, B = 3, C = -6:
4(4) + 3(3) - 6(-6) = D,
16 + 9 + 36 = D,
D = 61.
6. Таким образом, уравнение плоскости будет иметь вид:
4x + 3y - 6z = 61.
Ответ:
Уравнение плоскости:
4x + 3y - 6z = 61.