Дано:
Точка M(1; -4; 2) — основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость α.
Найти: уравнение плоскости α.
Решение:
1. Начнем с того, что для нахождения уравнения плоскости, нужно знать ее нормаль и точку на плоскости. Точка M(1; -4; 2) уже дана как точка на плоскости, а вектор нормали к плоскости — это вектор, направленный от начала координат O(0; 0; 0) к точке M.
2. Вектор нормали к плоскости можно найти как вектор OM, который имеет координаты:
OM = M - O = (1 - 0; -4 - 0; 2 - 0) = (1; -4; 2).
3. Уравнение плоскости можно записать в виде:
n1(x - x0) + n2(y - y0) + n3(z - z0) = 0,
где (x0, y0, z0) — точка на плоскости, а (n1, n2, n3) — компоненты нормали к плоскости.
4. Подставим точку M(1; -4; 2) и вектор нормали OM(1; -4; 2) в уравнение плоскости:
1(x - 1) - 4(y + 4) + 2(z - 2) = 0.
5. Раскроем скобки и упростим:
(x - 1) - 4(y + 4) + 2(z - 2) = 0,
x - 1 - 4y - 16 + 2z - 4 = 0,
x - 4y + 2z - 21 = 0.
Ответ: Уравнение плоскости:
x - 4y + 2z - 21 = 0.