Дано:
- Основание правильной треугольной призмы ABCAB1C1 с длиной стороны основания а.
- Точка М — середина ребра В1С1.
Необходимо найти скалярные произведения векторов:
1) АВ1 и A1М.
2) ВМ и A1М.
1. Скалярное произведение векторов АВ1 и A1М
Решение:
Предположим, что вершины треугольной призмы находятся в трехмерной системе координат. Пусть:
- A = (0, 0, 0),
- B = (a, 0, 0),
- C = (a/2, (a√3)/2, 0),
- A1 = (0, 0, h) — вершина, расположенная выше точки A на высоте h,
- B1 = (a, 0, h),
- C1 = (a/2, (a√3)/2, h).
Точка М — середина ребра В1С1, то есть:
- M = ((a + a/2) / 2, (0 + (a√3)/2) / 2, (h + h) / 2) = (3a/4, (a√3)/4, h).
Теперь найдём векторы АВ1 и A1М:
- АВ1 = (a - 0, 0 - 0, h - 0) = (a, 0, h),
- A1М = (3a/4 - 0, (a√3)/4 - 0, h - h) = (3a/4, a√3/4, 0).
Теперь вычислим их скалярное произведение:
АВ1 · A1М = (a)(3a/4) + (0)(a√3/4) + (h)(0) = 3a²/4.
Ответ:
АВ1 · A1М = 3a² / 4.
2. Скалярное произведение векторов ВМ и A1М
Решение:
Вектор ВМ = М - В = (3a/4 - a, (a√3)/4 - 0, h - 0) = (-a/4, a√3/4, h).
Вектор A1М = (3a/4, a√3/4, h).
Теперь вычислим их скалярное произведение:
ВМ · A1М = (-a/4)(3a/4) + (a√3/4)(a√3/4) + (h)(h) = -3a²/16 + 3a²/16 + h² = h².
Ответ:
ВМ · A1М = h².