Дано:
Параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
- На ребре AD отметили точку М так, что AM : MD = 1 : 3.
- На отрезке C1D отметили точку К так, что C1K : KD = 3 : 2.
Необходимо выразить вектор MK через векторы AB, AD и AA1.
Решение:
1. Обозначим координаты вершин параллелепипеда. Пусть A = O (начало координат), тогда:
- Вектор AB = b,
- Вектор AD = d,
- Вектор AA1 = a1.
Таким образом, координаты точек будут:
- A = (0, 0, 0),
- B = b,
- D = d,
- A1 = a1.
2. Вектор точки М на ребре AD:
Так как точка М делит отрезок AD в отношении 1 : 3, то вектор AM будет составлен следующим образом:
- Вектор AM = (1/4) * AD = (1/4) * d.
3. Вектор точки К на отрезке C1D:
Точки C1 и D лежат на одной прямой. Для нахождения координат точки К используем тот факт, что точка К делит отрезок C1D в отношении 3 : 2.
Так как C1 = A1 + d (по геометрии параллелепипеда), то:
- Вектор C1D = D - C1 = d - a1.
- Вектор C1K = (3/5) * C1D = (3/5) * (d - a1),
- Вектор KD = (2/5) * C1D = (2/5) * (d - a1).
Таким образом, координаты точки К будут:
- К = C1 + C1K = (a1 + d) + (3/5) * (d - a1) = a1 + d + (3/5) * d - (3/5) * a1
- К = (2/5) * a1 + (8/5) * d.
4. Теперь вычислим вектор MK:
Вектор MK = K - M:
- Вектор MK = [(2/5) * a1 + (8/5) * d] - (1/4) * d.
Приведем подобные члены:
- Вектор MK = (2/5) * a1 + (8/5 - 1/4) * d.
Для упрощения выражения для дельты d, приведем дроби к общему знаменателю:
- 8/5 - 1/4 = 32/20 - 5/20 = 27/20.
Таким образом, вектор MK будет:
- Вектор MK = (2/5) * a1 + (27/20) * d.
Ответ:
Вектор MK = (2/5) * a1 + (27/20) * d.