Дано:
- Параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
- Диагонали грани CC1D1D пересекаются в точке М.
- Необходимо выразить вектор AM через векторы АВ, AD и А1.
Найти:
Вектор AM через векторы АВ, AD и А1.
Решение:
1. Рассмотрим параллелепипед и обозначим его вершины: A, B, C, D, A1, B1, C1, D1.
2. Точки C, C1, D и D1 лежат на одной грани, и диагонали CC1 и D1D пересекаются в точке М.
3. Точка М является точкой пересечения диагоналей грани CC1D1D, поэтому точка М делит каждую диагональ пополам.
Запишем вектор М как среднее значение векторов C и D1:
М = (1/2)(C + D1)
4. Теперь выразим векторы C и D1 через векторы, исходящие из точки A:
- C = A + AC
- D1 = A1 + AD1, где вектор AD1 равен вектору AD (по параллельности граней параллелепипеда).
5. Подставляем эти выражения в уравнение для вектора М:
М = (1/2)((A + AC) + (A1 + AD))
6. Упростим:
М = (1/2)(A + AC + A1 + AD)
7. Так как точка М лежит на диагонали, то можно выразить вектор AM как разность вектора M и вектора A:
AM = М - A
8. Подставляем выражение для М:
AM = (1/2)(A + AC + A1 + AD) - A
9. Раскроем скобки:
AM = (1/2)(A + AC + A1 + AD) - A
AM = (1/2)A + (1/2)AC + (1/2)A1 + (1/2)AD - A
10. Упростим:
AM = (1/2)AC + (1/2)A1 + (1/2)AD - (1/2)A
11. Теперь можем выразить вектор AM через векторы AB, AD и A1. Известно, что:
AC = AB + AD
Подставим это в уравнение для AM:
AM = (1/2)(AB + AD) + (1/2)A1 + (1/2)AD - (1/2)A
12. Упростим:
AM = (1/2)AB + (1/2)AD + (1/2)A1 + (1/2)AD - (1/2)A
AM = (1/2)AB + AD + (1/2)A1 - (1/2)A
Ответ:
Вектор AM = (1/2)AB + AD + (1/2)A1 - (1/2)A.