Question

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке М. 1) Выразите вектор AM через векторы АВ и ВС.
2) Найдите ВС , если диагонали ромба равны 12 и 16.
3) Найдите АС , если А(3; 1),С(-1; 4).

Answer 1

Дано:  
Ромб ABCD, диагонали пересекаются в точке М.  
Длина диагоналей: d1 = 12, d2 = 16.  
Координаты точки A: A(3; 1), C(-1; 4).  

Найти:  
1) Вектор AM через векторы AB и BC.  
2) Длину вектора BC.  
3) Длину вектора AC.  

Решение:  

1) Вектор AM.  
Пусть AB = v1 и BC = v2. В ромбе диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам.  
Тогда:  
AM = (1/2)AB + (1/2)BC.  
Таким образом,  
AM = (1/2)v1 + (1/2)v2.  

2) Найдем длину вектора BC.  
Диагонали ромба делят его на четыре равных треугольника.  
По формуле для длины диагонали, если d1 и d2 — длины диагоналей, то:  
BC = (1/2) * d2 = (1/2) * 16 = 8 см.  

3) Найдем длину вектора AC.  
Длина AC = расстояние между точками A(3; 1) и C(-1; 4):  
AC = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)  
где (x1, y1) = (3, 1) и (x2, y2) = (-1, 4).  
Подставим значения:  
AC = sqrt((-1 - 3)² + (4 - 1)²)  
= sqrt((-4)² + (3)²)  
= sqrt(16 + 9)  
= sqrt(25)  
= 5 см.  

Ответ:  
1) Вектор AM = (1/2)v1 + (1/2)v2.  
2) Длина вектора BC равна 8 см.  
3) Длина вектора AC равна 5 см.