Дано:
Точка А(1; 0; -1) — центр гомотетии.
Точка М(2; 3; -5) — начальная точка.
Точка М1(4; 9; -13) — образ точки М при гомотетии.
Точка К1(16; -21; 2) — образ точки К, нужно найти прообраз К.
Найти: прообраз точки К при данной гомотетии.
Решение:
Для нахождения прообраза точки К1 при гомотетии с центром в А, воспользуемся соотношением гомотетии:
М1 - А = k * (М - А)
где k — коэффициент гомотетии, который можно найти по образу точки М.
Для начала найдем коэффициент гомотетии k. Для этого определим векторы М - А и М1 - А.
Вектор М - А = (2 - 1; 3 - 0; -5 - (-1)) = (1; 3; -4).
Вектор М1 - А = (4 - 1; 9 - 0; -13 - (-1)) = (3; 9; -12).
Теперь найдем коэффициент гомотетии k, равный отношению соответствующих компонентов векторов М1 - А и М - А:
k = (М1 - А) / (М - А)
Для каждой компоненты векторов:
k = 3 / 1 = 9 / 3 = -12 / -4
k = 3
Теперь, зная коэффициент гомотетии k = 3, можем найти прообраз точки К.
Для этого используем соотношение:
К1 - А = k * (К - А)
или
К - А = (К1 - А) / k
Вектор К1 - А = (16 - 1; -21 - 0; 2 - (-1)) = (15; -21; 3).
Теперь, делим компоненты вектора К1 - А на коэффициент k = 3:
К - А = (15 / 3; -21 / 3; 3 / 3) = (5; -7; 1).
Теперь находим координаты точки К, добавляя вектор К - А к координатам точки А:
К = А + (К - А) = (1; 0; -1) + (5; -7; 1) = (6; -7; 0).
Ответ: Прообраз точки К — точка К(6; -7; 0).