Дано:
Точка A(-1; 2; 9) — центр гомотетии.
Точка B(3; -4; 1) — начальная точка.
Точка B1(-2; 3.5; 11) — образ точки B при гомотетии.
Найти: образ точки C(19; -6; 37) при той же гомотетии.
Решение:
Гомотетия переводит точку в соответствии с отношением, называемым коэффициентом гомотетии (k). Если точка B переходит в точку B1, то можно использовать следующее соотношение:
B1 - A = k * (B - A)
где A — центр гомотетии, B — начальная точка, B1 — образ точки B.
Для начала найдем коэффициент гомотетии k. Для этого определим векторы B - A и B1 - A.
Вектор B - A = (3 - (-1); -4 - 2; 1 - 9) = (4; -6; -8).
Вектор B1 - A = (-2 - (-1); 3.5 - 2; 11 - 9) = (-1; 1.5; 2).
Теперь найдем коэффициент гомотетии k. Это отношение соответствующих компонентов векторов B1 - A и B - A:
k = (B1 - A) / (B - A)
Для каждой компоненты векторов:
k = (-1 / 4) = (1.5 / -6) = (2 / -8)
k = -1/4
Теперь, зная коэффициент гомотетии k = -1/4, найдем образ точки C(19; -6; 37) при этой гомотетии.
Вектор C - A = (19 - (-1); -6 - 2; 37 - 9) = (20; -8; 28).
Теперь, образ точки C при гомотетии с центром в A:
C1 - A = k * (C - A) = (-1/4) * (20; -8; 28) = (-5; 2; -7).
Таким образом, координаты точки C1:
C1 = A + (C1 - A) = (-1; 2; 9) + (-5; 2; -7) = (-6; 4; 2).
Ответ:
Образ точки C при гомотетии с центром в A: C1(-6; 4; 2).