Дано:
1. Угол ABC = 60°.
2. КС : ВС = 1 : 2.
3. ВК : AM = 2 : 7.
4. Окружность проходит через вершины А и С треугольника ABC и пересекает сторону АВ в точке М, а сторону ВС в точке К.
Найти: величину угла ВМС.
Решение:
1. Обозначения:
- Пусть радиус окружности равен R.
- М точка пересечения окружности с отрезком AB.
- К точка пересечения окружности с отрезком BC.
2. Рассмотрим треугольник ABC. Из условия задачи известно, что окружность проходит через вершины A и C. Эта окружность называется описанной окружностью треугольника AMC. Поскольку точка M лежит на окружности, угол ВМС является вписанным углом, опирающимся на дугу AC.
3. Из теоремы о вписанных углах следует, что угол ВМС равен углу АВС (так как оба угла опираются на одну и ту же дугу AC):
- Угол ВМС = угол АВС.
4. Так как угол АВС = 60°, то и угол ВМС = 60°.
Ответ:
Угол ВМС = 60°.