Окружность проходит через вершины В и С треугольника ABC и пересекает его стороны АВ и АС в точках C1 и В1 соответственно. Известно, что SAB1C1 : SCB1C1B =1:8. Найдите отношение B1C1 : ВС
от

1 Ответ

дано:  
SAB1C1 : SCB1C1B = 1 : 8.

найти:  
отношение B1C1 : BC.

решение:

1. Обозначим площади треугольников:
   SAB1C1 = S, SCB1C1B = 8S.

2. Найдем площадь всего треугольника ABC:
   SABC = SAB1C1 + SCB1C1B = S + 8S = 9S.

3. Площадь треугольника ABC можно также выразить через основание и высоту. Выберем сторону BC в качестве основания.

4. Площадь треугольника ABC равна:
   SABC = 1/2 * BC * h,
   где h — высота, проведенная из точки A на сторону BC.

5. Рассмотрим треугольник AB1C1:
   Площадь этого треугольника можно выразить как:
   SAB1C1 = 1/2 * B1C1 * h1,
   где h1 — высота, проведенная из точки A на сторону B1C1.

6. Из условия задачи следует, что отношение площадей треугольников SAB1C1 и SCB1C1B связано с отношением их оснований:
   SAB1C1 / SCB1C1B = B1C1 / (BC - B1C1) = 1 / 8.

7. Обозначим B1C1 = x, тогда BC - B1C1 = BC - x.

8. Подставляем в уравнение:
   x / (BC - x) = 1 / 8.

9. Решим это уравнение:
   8x = BC - x,
   9x = BC,
   x = BC / 9.

10. Теперь найдем отношение B1C1 : BC:
   B1C1 : BC = x : (BC) = (BC / 9) : BC = 1 : 9.

ответ:  
Отношение B1C1 : BC равно 1 : 9.
от