Дано:
- Точка A (-5; 4)
- Точка B (3; 2)
- Точка C (-2; 7)
Найти: доказать, что треугольник ABC прямоугольный, и записать уравнение окружности, описанной вокруг этого треугольника.
Решение:
1. Проверим, является ли треугольник ABC прямоугольным.
Для этого найдем длины сторон треугольника ABC с помощью формулы для расстояния между двумя точками:
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).
- Найдем длину стороны AB:
d_AB = sqrt((3 - (-5))^2 + (2 - 4)^2)
= sqrt((3 + 5)^2 + (2 - 4)^2)
= sqrt(8^2 + (-2)^2)
= sqrt(64 + 4)
= sqrt(68)
= 2 * sqrt(17).
- Найдем длину стороны BC:
d_BC = sqrt((-2 - 3)^2 + (7 - 2)^2)
= sqrt((-5)^2 + 5^2)
= sqrt(25 + 25)
= sqrt(50)
= 5 * sqrt(2).
- Найдем длину стороны AC:
d_AC = sqrt((-2 - (-5))^2 + (7 - 4)^2)
= sqrt((-2 + 5)^2 + (7 - 4)^2)
= sqrt(3^2 + 3^2)
= sqrt(9 + 9)
= sqrt(18)
= 3 * sqrt(2).
Теперь у нас есть длины трех сторон:
AB = 2 * sqrt(17),
BC = 5 * sqrt(2),
AC = 3 * sqrt(2).
2. Проверим теорему Пифагора.
Для того чтобы треугольник был прямоугольным, должно выполняться одно из следующих равенств:
a^2 + b^2 = c^2,
где c — самая длинная сторона.
Сравним квадраты сторон:
- AB^2 = (2 * sqrt(17))^2 = 4 * 17 = 68,
- BC^2 = (5 * sqrt(2))^2 = 25 * 2 = 50,
- AC^2 = (3 * sqrt(2))^2 = 9 * 2 = 18.
Теперь проверим:
AB^2 + AC^2 = 68 + 18 = 86,
BC^2 = 50.
Поскольку 86 не равно 50, это не выполняется.
Теперь проверим другое равенство:
AB^2 + BC^2 = 68 + 50 = 118,
AC^2 = 18.
Это также не выполняется.
Теперь проверим:
AC^2 + BC^2 = 18 + 50 = 68,
AB^2 = 68.
Равенство верно, значит, треугольник ABC прямоугольный, с прямым углом в точке C.
3. Запишем уравнение окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
Центр описанной окружности треугольника можно найти как пересечение серединных перпендикуляров. Однако в данном случае можно использовать формулу для уравнения окружности через координаты вершин треугольника.
Уравнение окружности:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2,
где (x0, y0) - координаты центра, а R - радиус.
Для нахождения центра окружности для прямоугольного треугольника, центр окружности будет находиться на середине гипотенузы AB.
- Найдем координаты середины AB:
x0 = (x_A + x_B) / 2 = (-5 + 3) / 2 = -2 / 2 = -1,
y0 = (y_A + y_B) / 2 = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3.
Теперь найдем радиус, который равен половине длины гипотенузы:
R = AB / 2 = (2 * sqrt(17)) / 2 = sqrt(17).
Таким образом, уравнение окружности будет:
(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 17.
Ответ: треугольник ABC прямоугольный, уравнение описанной окружности: (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 17.