Дано:
- Точка A (8; 0; 4).
- Точка B (13; 4; 7).
- Точка C (11; -3; 3).
Найти:
1) Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.
2) Найдите площадь круга, описанного около треугольника ABC.
Решение:
1. Для проверки, является ли треугольник ABC прямоугольным, найдем длины сторон AB, BC и AC.
Длина отрезка AB рассчитывается по формуле:
AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²],
где (x1, y1, z1) — координаты точки A, (x2, y2, z2) — координаты точки B.
Подставим координаты A и B:
AB = √[(13 - 8)² + (4 - 0)² + (7 - 4)²]
= √[5² + 4² + 3²]
= √[25 + 16 + 9]
= √50.
Теперь найдем длину стороны BC:
BC = √[(11 - 13)² + (-3 - 4)² + (3 - 7)²]
= √[(-2)² + (-7)² + (-4)²]
= √[4 + 49 + 16]
= √69.
Найдем длину стороны AC:
AC = √[(11 - 8)² + (-3 - 0)² + (3 - 4)²]
= √[3² + (-3)² + (-1)²]
= √[9 + 9 + 1]
= √19.
2. Теперь проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника ABC:
Если треугольник ABC прямоугольный, то должно выполняться одно из следующих равенств:
AB² = AC² + BC²,
AC² = AB² + BC²,
BC² = AB² + AC².
Вычислим квадраты длин сторон:
AB² = 50,
BC² = 69,
AC² = 19.
Проверяем все равенства:
1) AB² = AC² + BC²
50 = 19 + 69 (не верно),
2) AC² = AB² + BC²
19 = 50 + 69 (не верно),
3) BC² = AB² + AC²
69 = 50 + 19 (верно).
Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным.
3. Теперь найдем площадь круга, описанного около треугольника ABC.
Радиус R описанной окружности можно вычислить по формуле:
R = (a * b * c) / (4 * S),
где a, b, c — длины сторон треугольника, а S — площадь треугольника.
Площадь треугольника ABC можно найти с помощью формулы Герона. Сначала найдем полупериметр:
p = (AB + BC + AC) / 2
= (√50 + √69 + √19) / 2.
Теперь используем формулу Герона для вычисления площади:
S = √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)].
После нахождения площади S подставим в формулу для радиуса R и затем найдем площадь круга:
Площадь круга = π * R².
Ответ:
1) Треугольник ABC является прямоугольным.
2) Площадь круга, описанного около треугольника ABC, равно π * R² (конкретное значение зависит от вычислений для R).