дано:
- |a| = 1,
- |b| = 2,
- |c| = 2,
- (a, c) = 90°,
- (b, c) = 90°,
- (a, b) = 60°.
найти:
- длину вектора |a - b + c|.
решение:
1. Для нахождения длины вектора |a - b + c| используем формулу:
|a - b + c|² = |a|² + |b|² + |c|² - 2(a • b) + 2(a • c) - 2(b • c).
2. Вычислим каждую из величин:
- |a|² = 1² = 1,
- |b|² = 2² = 4,
- |c|² = 2² = 4.
3. Теперь найдем скалярные произведения:
- (a, b) = 60° → a • b = |a| * |b| * cos(60°) = 1 * 2 * (1/2) = 1.
- (a, c) = 90° → a • c = |a| * |c| * cos(90°) = 1 * 2 * 0 = 0.
- (b, c) = 90° → b • c = |b| * |c| * cos(90°) = 2 * 2 * 0 = 0.
4. Подставим значения в формулу:
|a - b + c|² = 1 + 4 + 4 - 2(1) + 2(0) - 2(0).
5. Упрощаем:
|a - b + c|² = 1 + 4 + 4 - 2 + 0 - 0 = 7.
6. Теперь найдем длину:
|a - b + c| = √7.
ответ:
- длина вектора |a - b + c| равна √7.