дано:
- |a| = 1,
- |b| = 2,
- |c| = 2,
- (a, b) = 90°,
- (a, c) = 90°,
- (b, c) = 60°.
найти:
- длину вектора |a + b - c|.
решение:
1. Для нахождения длины вектора |a + b - c| используем формулу:
|a + b - c|² = |a|² + |b|² + |c|² + 2(a • b) - 2(a • c) - 2(b • c).
2. Вычислим каждую из величин:
- |a|² = 1² = 1,
- |b|² = 2² = 4,
- |c|² = 2² = 4.
3. Теперь найдем скалярные произведения:
- (a, b) = 90° → a • b = |a| * |b| * cos(90°) = 1 * 2 * 0 = 0,
- (a, c) = 90° → a • c = |a| * |c| * cos(90°) = 1 * 2 * 0 = 0,
- (b, c) = 60° → b • c = |b| * |c| * cos(60°) = 2 * 2 * (1/2) = 2.
4. Подставим значения в формулу:
|a + b - c|² = 1 + 4 + 4 + 2(0) - 2(0) - 2(2).
5. Упрощаем:
|a + b - c|² = 1 + 4 + 4 - 4 = 5.
6. Теперь найдем длину:
|a + b - c| = √5.
ответ:
- длина вектора |a + b - c| равна √5.