Дано:
- Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а (в СИ).
- Боковая грань наклонена к основанию под углом 60°.
Найти:
- Площадь полной поверхности пирамиды.
Решение:
1. Площадь основания пирамиды:
Площадь основания пирамиды — правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:
Площадь основания = 3√3 * а² / 2.
2. Площадь боковой грани:
Каждая боковая грань пирамиды — это равнобедренный треугольник с основанием, равным стороне основания а, и высотой, равной высоте боковой грани пирамиды.
Для нахождения высоты боковой грани используем угол наклона (60°). Из треугольника, образованного высотой боковой грани, стороной основания и наклонной гранью, мы можем найти высоту боковой грани. Если угол наклона между боковой гранью и основанием составляет 60°, то высота боковой грани (hб) равна:
hб = а * tan(60°) = а * √3.
Теперь можем найти площадь одной боковой грани. Площадь треугольника равна:
Площадь боковой грани = (а * hб) / 2 = (а * а * √3) / 2 = (а² * √3) / 2.
3. Площадь всех боковых граней:
Поскольку у пирамиды шесть боковых граней, то общая площадь боковых граней равна:
Площадь всех боковых граней = 6 * (а² * √3) / 2 = 3 * а² * √3.
4. **Площадь полной поверхности пирамиды**:
Полная поверхность пирамиды состоит из площади основания и площади всех боковых граней. Тогда площадь полной поверхности будет равна:
Площадь полной поверхности = Площадь основания + Площадь всех боковых граней = 3√3 * а² / 2 + 3 * а² * √3.
Приведем к общему виду:
Площадь полной поверхности = (3√3 * а² / 2) + (6√3 * а² / 2) = (9√3 * а²) / 2.
Ответ:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна (9√3 * а²) / 2.