Дано:
- Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а (в СИ).
- Угол наклона боковой грани к основанию равен 45°.
Найти площадь полной поверхности пирамиды PABCD и проверить, верно ли, что площадь поверхности пирамиды РАВС вдвое меньше площади поверхности пирамиды PABCD.
Решение:
1. Площадь основания:
Основание пирамиды — квадрат со стороной а. Площадь квадрата рассчитывается по формуле:
Площадь основания = а².
2. Площадь боковых граней:
Пирамида имеет 4 боковые грани, каждая из которых является треугольником. Чтобы найти площадь боковой грани, нужно вычислить ее высоту, которая является расстоянием от вершины пирамиды до середины основания.
Так как угол наклона боковой грани к основанию составляет 45°, высота треугольной боковой грани (h_б) будет равна половине стороны основания:
h_б = (а / 2) * tan(45°) = а / 2.
Площадь одной боковой грани (треугольника) рассчитывается по формуле:
Площадь одной боковой грани = 1/2 * основание * высота = 1/2 * а * (а / 2) = а² / 4.
Площадь всех 4 боковых граней:
Площадь боковых граней = 4 * (а² / 4) = а².
3. Площадь полной поверхности пирамиды PABCD:
Площадь полной поверхности пирамиды — это сумма площади основания и площади боковых граней:
Площадь полной поверхности = Площадь основания + Площадь боковых граней = а² + а² = 2а².
4. Площадь поверхности пирамиды РАВС:
Площадь поверхности пирамиды РАВС — это площадь только одной боковой грани и основания (площадь основания останется та же, а боковая грань будет только одна). Площадь поверхности пирамиды РАВС:
Площадь поверхности РАВС = Площадь основания + Площадь одной боковой грани = а² + а² / 4 = 4а² / 4 + а² / 4 = 5а² / 4.
5. Проверка:
Чтобы проверить, вдвое ли площадь поверхности пирамиды РАВС меньше площади полной поверхности пирамиды PABCD, сравним площади:
Площадь полной поверхности пирамиды PABCD = 2а².
Площадь поверхности пирамиды РАВС = 5а² / 4.
Для того чтобы площадь пирамиды РАВС была в два раза меньше площади полной поверхности, нужно, чтобы:
5а² / 4 = 2а² / 2.
Преобразуем правую часть уравнения:
2а² / 2 = а².
Но мы видим, что 5а² / 4 ≠ а², следовательно, утверждение неверно.
Ответ:
Площадь полной поверхности пирамиды PABCD = 2а². Утверждение, что площадь поверхности пирамиды РАВС вдвое меньше площади полной поверхности пирамиды PABCD, неверно.