Дано:
- Все ребра наклонной треугольной призмы равны 4 см.
- Объем призмы равен 24 см³.
- Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
Решение:
1. Обозначим, что основание призмы является равносторонним треугольником. Площадь основания треугольной призмы можно найти по формуле для площади равностороннего треугольника:
S = (a² * √3) / 4,
где a — длина стороны основания. Так как все ребра призмы равны 4 см, длина стороны основания равна 4 см. Подставим это значение в формулу для площади основания:
S = (4² * √3) / 4 = 4√3 см².
2. Объем треугольной призмы равен произведению площади основания на высоту:
V = S * h,
где h — высота призмы (расстояние между основаниями).
Зная объем призмы (24 см³), можем выразить высоту h:
24 = 4√3 * h,
h = 24 / (4√3) = 6 / √3 = 2√3 см.
3. Теперь рассмотрим угол наклона бокового ребра (длиной 4 см) к плоскости основания. Для этого нужно использовать прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это боковое ребро призмы, катет — высота призмы h, а второй катет — половина стороны основания треугольника, то есть 2 см.
В этом прямоугольном треугольнике угол наклона бокового ребра к основанию можно найти через косинус угла. Косинус угла между боковым ребром и высотой призмы (по определению косинуса) равен отношению высоты h к длине бокового ребра:
cos(θ) = h / 4.
Подставляем значение h = 2√3 см:
cos(θ) = (2√3) / 4 = √3 / 2.
Таким образом, угол наклона θ равен:
θ = cos⁻¹(√3 / 2) = 60°.
Ответ: угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 60°.