Дано:
Все ребра наклонной треугольной призмы равны 6 см, а объем этой призмы 27√6 см³.
Найти: угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
Решение:
1. Объем призмы можно выразить через площадь основания и высоту. Площадь основания треугольной призмы равна площади равностороннего треугольника, так как все ребра основания равны.
Площадь равностороннего треугольника с длиной стороны a можно найти по формуле:
S = (a²√3) / 4.
Так как ребра основания треугольной призмы равны 6 см, подставляем это значение:
S = (6²√3) / 4 = (36√3) / 4 = 9√3 см².
2. Объем призмы также равен произведению площади основания на высоту h, которая является перпендикуляром от вершины верхнего треугольника к основанию:
V = S * h.
Подставляем данные:
27√6 = 9√3 * h.
Из этого уравнения находим h:
h = (27√6) / (9√3) = 3√2 см.
3. Теперь найдем угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Угол наклона определяется через соотношение высоты h и длины бокового ребра (6 см). Поскольку боковое ребро наклонено, его проекция на плоскость основания образует прямоугольный треугольник, где:
- одна катета — это высота h (3√2 см),
- гипотенуза — это длина бокового ребра (6 см),
- угол наклона (α) между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между гипотенузой и катетом, который можно найти через синус:
sin(α) = h / 6 = (3√2) / 6 = √2 / 2.
Таким образом, угол наклона равен:
α = 45°.
Ответ: угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 45°.