Дано:
- Диагональ осевого сечения цилиндра равна 20 м.
- Отношение высоты цилиндра к радиусу основания равно 3:2, т.е. h/r = 3/2.
Найти:
а) объем цилиндра;
б) объем призмы, одной из боковых граней которой является осевое сечение цилиндра, а в основании лежит треугольник с углом 30°, вписанный в основание цилиндра.
а) Объем цилиндра
1. Пусть радиус основания цилиндра равен r, а высота цилиндра — h. Из условия задачи известно, что h/r = 3/2, то есть высота цилиндра равна 3/2 радиуса основания.
Следовательно, можно выразить высоту через радиус:
h = (3/2)r.
2. Осевое сечение цилиндра — прямоугольный треугольник, где одна из сторон — это радиус основания (r), а другая — высота цилиндра (h). Гипотенуза этого треугольника является диагональ осевого сечения цилиндра и равна 20 м.
Из теоремы Пифагора для этого прямоугольного треугольника получаем:
(r)² + (h)² = 20².
Подставим выражение для h:
r² + (3/2 * r)² = 400,
r² + (9/4)r² = 400,
(4/4)r² + (9/4)r² = 400,
(13/4)r² = 400,
13r² = 1600,
r² = 1600 / 13,
r² ≈ 123,08,
r ≈ √123,08 ≈ 11,1 м.
3. Теперь, зная радиус r ≈ 11,1 м, находим высоту цилиндра:
h = (3/2) * 11,1 ≈ 16,65 м.
4. Объем цилиндра вычисляется по формуле:
V_цylinder = πr²h.
Подставим значения r и h:
V_цylinder ≈ π * (11,1)² * 16,65 ≈ π * 123,08 * 16,65 ≈ 2044,83π ≈ 6422,47 м³.
Ответ для пункта а: объем цилиндра ≈ 6422,47 м³.
б) Объем призмы
1. Осевое сечение цилиндра — прямоугольный треугольник с катетами r и h. Площадь этого треугольника можно найти по формуле для площади прямоугольного треугольника:
S_triangle = (1/2) * r * h.
Подставляем значения r ≈ 11,1 м и h ≈ 16,65 м:
S_triangle ≈ (1/2) * 11,1 * 16,65 ≈ 92,57 м².
2. Основание призмы — это треугольник, вписанный в основание цилиндра, угол между сторонами которого равен 30°. Площадь этого треугольника можно вычислить, используя формулу для площади треугольника с известным углом между двумя сторонами:
S_base = (1/2) * 2r * 2r * sin(30°),
где 2r — это диаметр основания цилиндра.
Так как синус 30° равен 1/2, получаем:
S_base = (1/2) * 2r * 2r * 1/2 = (1/2) * 4r² * 1/2 = r².
Следовательно, площадь основания треугольника:
S_base = (11,1)² ≈ 123,08 м².
3. Высота призмы равна высоте цилиндра, то есть h ≈ 16,65 м.
4. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:
V_prism = S_base * h ≈ 123,08 * 16,65 ≈ 2044,83 м³.
Ответ для пункта б: объем призмы ≈ 2044,83 м³.