Дано:
- Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 м.
- Отношение радиуса основания к высоте цилиндра равно 3:8.
Найти:
а) объем цилиндра;
б) объем призмы, одной из боковых граней которой является осевое сечение цилиндра, а в основании лежит равнобедренный треугольник, вписанный в основание цилиндра.
Решение:
а) Объем цилиндра
1. Пусть радиус основания цилиндра равен r, а высота цилиндра — h.
Из условия задачи известно, что отношение радиуса к высоте равно 3:8, т.е.
r/h = 3/8.
Таким образом, можно выразить радиус через высоту:
r = 3h/8.
2. Рассмотрим осевое сечение цилиндра, которое является прямоугольным треугольником с гипотенузой, равной диагонали основания цилиндра. Диагональ основания цилиндра — это диаметр основания, равный 2r.
Диагональ осевого сечения равна 10 м. Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника осевого сечения равна 10 м.
В осевом сечении цилиндра, где одна из сторон — это радиус основания (r), а другая — высота цилиндра (h), гипотенуза треугольника вычисляется по теореме Пифагора:
(2r)² + h² = 10².
Подставляем выражение для r через h:
(2(3h/8))² + h² = 100.
Упростим:
(6h/8)² + h² = 100,
(9h²/16) + h² = 100,
(9h² + 16h²) / 16 = 100,
25h² / 16 = 100,
25h² = 1600,
h² = 64,
h = 8 м.
3. Теперь, зная высоту цилиндра (h = 8 м), найдем радиус основания:
r = 3h/8 = 3 * 8 / 8 = 3 м.
4. Объем цилиндра вычисляется по формуле:
V_цylinder = πr²h.
Подставляем значения r и h:
V_цylinder = π * (3)² * 8 = π * 9 * 8 = 72π м³.
Ответ для пункта а: объем цилиндра равен 72π м³.
б) Объем призмы
1. Осевое сечение цилиндра является прямоугольным треугольником, где одна катета — это радиус основания цилиндра (r = 3 м), а второй катет — это высота цилиндра (h = 8 м).
Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Основание призмы — это равнобедренный треугольник, вписанный в основание цилиндра. Площадь такого треугольника можно найти, используя его основание и высоту.
Основание равнобедренного треугольника — это диаметр основания цилиндра, т.е. 2r = 6 м. Высота треугольника будет равна высоте цилиндра, т.е. h = 8 м.
Площадь равнобедренного треугольника вычисляется по формуле:
S_triangle = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 6 * 8 = 24 м².
2. Высота призмы равна высоте цилиндра (h = 8 м).
Теперь объем призмы:
V_prism = S_triangle * h = 24 * 8 = 192 м³.
Ответ для пункта б: объем призмы равен 192 м³.