Дано:
- Медиана BM треугольника ABC вдвое меньше стороны AB.
- Угол ABM = 40°.
Найти: угол ABC.
Решение:
1. Обозначим стороны треугольника:
- AB = c
- BC = a
- CA = b
- BM = m.
2. Из условия известно, что медиана BM = 1/2 * c, то есть m = c/2.
3. По свойству медианы BM, имеем:
m = 1/2 * √(2a^2 + 2b^2 - c^2).
4. Подставляем m в это равенство:
c/2 = 1/2 * √(2a^2 + 2b^2 - c^2).
5. Умножаем обе стороны на 2:
c = √(2a^2 + 2b^2 - c^2).
6. Квадратируем обе стороны:
c^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2.
7. Переносим c^2 в одну сторону:
2c^2 = 2a^2 + 2b^2.
8. Делим на 2:
c^2 = a^2 + b^2.
Это указывает на то, что треугольник ABC является прямоугольным, так как выполняется теорема Пифагора.
9. Теперь, зная, что угол ABM = 40°, можно использовать соотношение между углами и сторонами:
sin(ABM) = BM/AB,
sin(40°) = (c/2) / c,
sin(40°) = 1/2.
10. Так как BM является медианой, угол ABC равен:
∠ABC = 180° - (∠ABM + ∠BAM).
11. По свойству прямоугольного треугольника:
∠BAM = 90° - ∠ABM,
∠BAM = 90° - 40° = 50°.
12. Таким образом:
∠ABC = 180° - (40° + 50°) = 90°.
Ответ:
Угол ABC равен 90°.