Дано:
- Медиана BM треугольника ABC в 4 раза меньше стороны AB, то есть BM = 1/4 * AB.
- Угол ABM = 60°.
Найти: угол ABC.
Решение:
1. Обозначим стороны треугольника:
- AB = c,
- BM = m = 1/4 * c.
2. Используем формулу для медианы BM:
m = 1/2 * √(2a^2 + 2b^2 - c^2),
где a = BC, b = AC.
3. Подставляем значение медианы:
1/4 * c = 1/2 * √(2a^2 + 2b^2 - c^2).
4. Умножаем обе стороны на 2:
1/2 * c = √(2a^2 + 2b^2 - c^2).
5. Квадратируем обе стороны:
(1/2 * c)^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2.
6. Упрощаем:
1/4 * c^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2.
7. Переносим c^2 в одну сторону:
1/4 * c^2 + c^2 = 2a^2 + 2b^2.
8. Приводим к общему знаменателю:
(1/4 + 1) * c^2 = 2a^2 + 2b^2.
9. Это можно записать как:
(5/4) * c^2 = 2a^2 + 2b^2.
10. Теперь у нас есть соотношение между сторонами. Для нахождения угла ABC используем закон синусов.
11. Угол ABM = 60°, поэтому:
sin(ABM) = BM/AB,
sin(60°) = (1/4 * c) / c,
sin(60°) = 1/4.
12. Упрощаем:
sin(60°) = √3/2.
13. Это показывает, что значение BM меньше, чем требуется для равновесия, и нам нужно использовать дополнительную информацию.
14. По свойству углов:
∠ABC = 180° - (∠ABM + ∠BAM).
15. Зная, что ∠ABM = 60°, найдем ∠BAM:
∠BAM = 90° - ∠ABM = 90° - 60° = 30°.
16. Теперь можем найти угол ABC:
∠ABC = 180° - (60° + 30°) = 90°.
Ответ: Угол ABC равен 90°.