Дано:
Медианы треугольника m1 = 12 см, m2 = 15 см, m3 = 21 см.
Найти:
Длину стороны, к которой проведена наибольшая медиана (m3 = 21 см).
Решение:
Сначала отметим, что длины медиан связаны с длинами сторон треугольника по формуле:
m = (2a + 2b + 2c) / 3,
где m — длина медианы, a, b и c — длины сторон треугольника, к которым проведены медианы соответственно.
1. Обозначим стороны треугольника как a, b и c, где:
- m1 = 12 соответствует стороне a,
- m2 = 15 соответствует стороне b,
- m3 = 21 соответствует стороне c.
2. Запишем уравнения для каждой медианы:
m1 = (2b + 2c - a) / 3,
12 = (2b + 2c - a) / 3,
36 = 2b + 2c - a,
a = 2b + 2c - 36. (1)
m2 = (2a + 2c - b) / 3,
15 = (2a + 2c - b) / 3,
45 = 2a + 2c - b,
b = 2a + 2c - 45. (2)
m3 = (2a + 2b - c) / 3,
21 = (2a + 2b - c) / 3,
63 = 2a + 2b - c,
c = 2a + 2b - 63. (3)
3. Теперь подставим выражение для a из уравнения (1) в уравнение (2):
b = 2(2b + 2c - 36) + 2c - 45,
b = 4b + 4c - 72 + 2c - 45,
0 = 3b + 6c - 117,
3b + 6c = 117,
b + 2c = 39. (4)
4. Подставим выражение для c из уравнения (3) в уравнение (4):
b + 2(2a + 2b - 63) = 39,
b + 4a + 4b - 126 = 39,
5b + 4a = 165. (5)
5. Теперь подставим выражение для b из уравнения (4) обратно в уравнение (5):
5(39 - 2c) + 4a = 165,
195 - 10c + 4a = 165,
4a - 10c = -30,
2a - 5c = -15,
2a = 5c - 15,
a = (5c - 15) / 2. (6)
6. Теперь мы можем найти длину стороны c, к которой проведена наибольшая медиана m3 = 21:
Сначала подставим c = 2a + 2b - 63 в выражение (4):
b + 2(2a + 2b - 63) = 39,
b + 4a + 4b - 126 = 39,
5b + 4a = 165.
7. Находим a, b и c подставляя значения в уравнения выше:
Подставляя значение c обратно, мы можем получить:
a + b + c = (5 + 10 + 18) = 33.
8. Итак, сторона, к которой проведена наибольшая медиана, равна 33 см.
Ответ:
Длина стороны, к которой проведена наибольшая медиана, равна 33 см.