дано:
площадь исходного треугольника S = 1/2 * a * b, где a и b - катеты треугольника.
медиана к гипотенузе делит ее на два равных отрезка, а также делит треугольник на два меньших треугольника.
найти:
площадь треугольника с вершинами в основаниях перпендикуляров, проведенных из середины медианы.
решение:
пусть c - длина гипотенузы треугольника. Находим длину медианы m к гипотенузе:
m = 1/2 * sqrt(2a^2 + 2b^2 - c^2)
в прямоугольном треугольнике c = sqrt(a^2 + b^2), поэтому:
m = 1/2 * sqrt(2a^2 + 2b^2 - (a^2 + b^2))
m = 1/2 * sqrt(a^2 + b^2) = 1/2 * c / sqrt(2)
середина медианы делит её на два равных отрезка, и обозначим эту точку O.
перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны треугольника, будут пересекаться в точках A', B' и C'.
площадь треугольника A'B'C' можно найти через площадь треугольника ABC.
по свойству подобия у нас есть отношение площадей:
площадь треугольника A'B'C' = (1/4) * площадь треугольника ABC
тогда:
площадь треугольника A'B'C' = (1/4) * S
ответ:
площадь искомого треугольника равна S/4.