Дано:
Уравнение окружности: x^2 + y^2 = 36.
Абсцисса точки M: x_M = 3.
Найти:
Площадь треугольника ОРМ.
Решение:
1. Найдем координаты точки P, где окружность пересекает отрицательную полуось OX. Для этого подставим y = 0 в уравнение окружности:
x^2 + 0^2 = 36.
x^2 = 36.
x = -6 (так как точка P находится на отрицательной полуоси).
Координаты точки P: P(-6, 0).
2. Теперь найдем координаты точки M. Подставим x_M = 3 в уравнение окружности:
3^2 + y_M^2 = 36.
9 + y_M^2 = 36.
y_M^2 = 36 - 9 = 27.
y_M = ±√27 = ±3√3.
Выберем y_M = 3√3 (точка M находится в верхней полуплоскости).
Координаты точки M: M(3, 3√3).
3. Теперь определим координаты точки O (начало координат): O(0, 0).
4. Используем формулу для площади треугольника, заданного координатами трех вершин:
S = (1/2) * |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|,
где O(0, 0), P(-6, 0), M(3, 3√3).
Подставляем координаты:
S = (1/2) * |0(0 - 3√3) + (-6)(3√3 - 0) + 3(0 - 0)|.
S = (1/2) * |0 - 18√3 + 0|.
S = (1/2) * 18√3.
S = 9√3.
Ответ:
9√3.