дано:
точка A = {-7; 3},
точка B = {3; 5}.
найти:
координаты точки K, лежащей на стороне AB, если KM — средняя линия треугольника ABC.
решение:
Сначала найдем координаты точки M, которая является серединой стороны AC. Для этого предположим, что точка C имеет координаты {x_C; y_C}.
Координаты точки M вычисляются по формуле:
M_x = (A_x + C_x) / 2,
M_y = (A_y + C_y) / 2.
Так как KM — средняя линия, она соединяет середины сторон треугольника. Поскольку K лежит на отрезке AB, его координаты можно выразить через t (параметр, который изменяется от 0 до 1):
K_x = A_x + t * (B_x - A_x),
K_y = A_y + t * (B_y - A_y).
Подставим значения:
K_x = -7 + t * (3 - (-7))
= -7 + t * 10
= -7 + 10t.
K_y = 3 + t * (5 - 3)
= 3 + t * 2
= 3 + 2t.
Теперь найдем координаты точки M, используя координаты точки C. Предположим, что C имеет координаты C(x_C; y_C).
Координаты точки M будут равны:
M_x = (-7 + x_C) / 2,
M_y = (3 + y_C) / 2.
Так как K и M связаны соотношением:
K_x = M_x и K_y = M_y,
то у нас есть следующие уравнения:
-7 + 10t = (-7 + x_C) / 2,
3 + 2t = (3 + y_C) / 2.
Необходимо получить t, чтобы найти координаты K. Выразим x_C и y_C через t:
1) Умножим первое уравнение на 2:
-14 + 20t = -7 + x_C
=> x_C = 20t + 7.
2) Умножим второе уравнение на 2:
6 + 4t = 3 + y_C
=> y_C = 4t + 3.
Теперь подставим t = 0.5 (середина отрезка AB):
K_x = -7 + 10 * 0.5 = -7 + 5 = -2,
K_y = 3 + 2 * 0.5 = 3 + 1 = 4.
Таким образом, координаты точки K равны:
K = {-2; 4}.
ответ:
координаты точки K равны {-2; 4}.