дано:
- масса мяча m_ball = 150 г = 0.15 кг
- глубина h = 5 м
- температура T = 27 °C = 300 K
- плотность воды ρ_water ≈ 1000 кг/м³
- универсальная газовая постоянная R = 287 Дж/(кг·К) (для воздуха)
найти:
массу воздуха в мяче m_air.
решение:
1. На глубине 5 м давление P можно рассчитать по формуле:
P = P_atm + ρ_water * g * h,
где P_atm = 101325 Па (атмосферное давление), g = 9.81 м/с² (ускорение свободного падения).
2. Подставим значения:
P = 101325 + 1000 * 9.81 * 5 = 101325 + 49050 = 150375 Па.
3. Теперь используем уравнение состояния идеального газа для расчета массы воздуха в мяче:
P * V = m_air * R * T.
4. Объем V мяча можно выразить через массу мяча и его плотность:
V = m_ball / ρ_ball, где ρ_ball — плотность мяча (принимаем плотность оболочки мяча равной ρ_ball = 1000 кг/м³, так как он на поверхности воды).
5. Подставим V в уравнение:
P = (m_ball + m_air) * g.
Перепишем:
m_air = (P * V) / (R * T).
6. Для того чтобы найти V, нужно учесть, что мяч находится в равновесии, то есть сила Архимеда равна весу мяча:
ρ_water * V * g = m_ball * g + m_air * g.
Упрощаем:
ρ_water * V = m_ball + m_air.
7. Подставим V из уравнения 4:
V = (m_ball + m_air) / ρ_water.
8. После подстановки у нас получится:
m_air = (P * ((m_ball + m_air) / ρ_water)) / (R * T).
9. Решая это уравнение, получаем:
м_air * (P / (R * T) - 1/ρ_water) = m_ball * P / (R * T).
10. Далее подставим известные значения:
P = 150375 Па, R = 287 Дж/(кг·К), T = 300 K, ρ_water = 1000 кг/м³, m_ball = 0.15 кг.
Итак, у нас теперь следующее уравнение:
m_air * (150375 / (287 * 300) - 1/1000) = 0.15 * 150375 / (287 * 300).
11. Сначала вычислим коэффициенты:
150375 / (287 * 300) ≈ 1.743,
а также 0.15 * 150375 = 22556.25.
12. Переписываем уравнение:
m_air * (1.743 - 0.001) = 22556.25.
m_air * 1.742 = 22556.25.
Следовательно:
m_air = 22556.25 / 1.742 ≈ 12900.35 грамм.
13. Это значение нужно пересчитать в килограммы:
m_air ≈ 12.9 кг.
ответ:
Масса воздуха в мяче составляет приблизительно 12.9 кг.