дано:
P1 - начальное давление
V1 - начальный объем
P2 = 3 * P1 - давление после изохорного нагревания
V2 = V1 - объем после изобарного нагревания = 1.5 * V1
найти:
КПД цикла η.
решение:
1. Рассмотрим процесс:
- Исходный объем V1 и давление P1.
- При изохорном нагревании давление увеличивается в 3 раза, то есть P2 = 3 * P1 при постоянном объеме V1.
2. Теперь рассматриваем изобарный процесс. Объем увеличивается на 50%, то есть:
V2 = 1.5 * V1.
Обозначим P2 как P3. Поскольку это изобарный процесс, давление P3 остается равным P2.
3. После второго изобарного процесса будет новый объем V3, который возвращается к V1.
4. Теперь определим работу, сделанную газом в цикле. Эта работа состоит из работы, сделанной в двух изобарных процессах:
W = P * ΔV, где P - давление, а ΔV - изменение объема.
5. Работа в первом изобарном процессе (из V1 в V2):
W1 = P1 * (V2 - V1) = P1 * (1.5 * V1 - V1) = P1 * 0.5 * V1 = 0.5 * P1 * V1.
6. Работа во втором изобарном процессе (из V2 в V3):
W2 = P2 * (V3 - V2) = P2 * (V1 - 1.5 * V1) = P2 * (-0.5 * V1).
Поскольку P2 = 3 * P1, то:
W2 = 3 * P1 * (-0.5 * V1) = -1.5 * P1 * V1.
7. Общая работа в цикле:
W_total = W1 + W2 = 0.5 * P1 * V1 - 1.5 * P1 * V1 = -1 * P1 * V1.
8. Для расчета тепла Q, полученного в цикле, используем тепло, подведенное к системе во время изохорного нагревания. Это тепло равно:
Q = n * C_v * ΔT, где C_v - удельная теплоемкость при постоянном объеме.
При нагревании в два раза давление увеличилось, следовательно, температура также увеличилась в 3 раза. Если обозначить T за начальную температуру:
ΔT = 3 * T - T = 2 * T.
9. Таким образом, общее количество теплоты:
Q_total = n * C_v * ΔT = n * C_v * (2 * T).
10. Теперь можем рассчитать КПД цикла:
η = |W_total| / Q_total.
11. Подставляем значения:
η = |(-1 * P1 * V1)| / (n * C_v * (2 * T)).
12. Применяя идеальный газ, мы знаем, что P1 * V1 = n * R * T. Таким образом, у нас есть:
η = |P1 * V1| / (2 * n * C_v * T).
С учетом того, что C_v = (3/2)R (для одноатомного газа), получаем:
η = |P1 * V1| / (2 * n * (3/2)R * T) = |P1 * V1| / (3 * nRT).
И, поскольку P1 * V1 = nRT,то:
η = |nRT| / (3 * nRT) = 1 / 3.
Ответ: КПД цикла равен 33.33%.