Дано:
- высота цилиндра H = 3D, где D - диаметр
- радиус цилиндра R = D / 2
Найти:
а) максимальный угол наклона доски, при котором цилиндр начнёт скользить
б) минимальный коэффициент трения между цилиндром и доской, при котором цилиндр опрокинется.
Решение:
а) Для того чтобы цилиндр начал скользить по доске, необходимо, чтобы вертикальная компонента веса цилиндра стала равной силе трения. Запишем условие равновесия для цилиндра.
Сила тяжести Fg = m * g, разбивается на две компоненты:
1) Fv = mg * sin(α) (компонента, действующая вниз по наклонной)
2) Fn = mg * cos(α) (нормальная сила)
Сила трения Ft = μ * Fn = μ * mg * cos(α).
Для начала скольжения:
Fg = Ft
mg * sin(α) = μ * mg * cos(α).
Сокращаем mg:
sin(α) = μ * cos(α),
tan(α) = μ.
Таким образом, максимальный угол наклона αmax, при котором цилиндр начинает скользить, будет равен:
αmax = arctan(μ).
б) Для определения минимального коэффициента трения, при котором цилиндр опрокинется, рассчитаем момент относительно точки опоры. Вращение цилиндра происходит вокруг основания.
Момент силы тяжести относительно опорной точки:
Mг = m * g * (R).
Момент силы трения относительно той же точки:
Mt = Ft * R = μ * mg * cos(α) * R.
Цилиндр начнет опрокидываться, когда:
Mг = Mt,
m * g * R = μ * mg * cos(α) * R.
Сокращаем mg и R:
g = μ * g * cos(α),
1 = μ * cos(α),
μ = 1 / cos(α).
Используя силу тяжести и момент:
αmin = arctan(1/3), так как радиус R в 3 раза меньше высоты цилиндра.
В итоге:
cos(α) = 1 / sqrt(10) (с учетом угла)
Таким образом:
μmin = 1 / (1/sqrt(10)) = sqrt(10).
Ответ:
а) Максимальный угол наклона доски, при котором цилиндр начнет скользить, равен arctan(μ).
б) Минимально возможный коэффициент трения между цилиндром и доской составляет sqrt(10).