Дано:
- высота горки h = 50 см = 0.5 м
- скорость монеты v_m = 3 м/с
- масса монеты m_m (необходима для расчетов, но не дана - обозначим как m)
Найти:
1. Скорость горки v_g.
Решение:
1. Применим закон сохранения импульса. Начальный импульс системы был равен нулю, так как горка и монета были в покое.
После того, как монета начинает двигаться, система должна сохранять общий импульс:
m_m * v_m + m_g * v_g = 0,
где m_g - масса горки (обозначим как M).
2. Выразим скорость горки через скорость монеты:
v_g = - (m_m/m_g) * v_m.
3. Теперь найдем потенциальную энергию монеты на вершине горки, которая при соскальзывании превращается в её кинетическую энергию и потенциальную энергию горки:
PE_initial = m_m * g * h,
где g = 9.81 м/с² (ускорение свободного падения).
4. Подставим значения:
PE_initial = m_m * 9.81 * 0.5 = 4.905 * m_m.
5. Кинетическая энергия монеты внизу:
KE_m = (1/2) * m_m * v_m^2,
KE_m = (1/2) * m_m * (3^2) = (1/2) * m_m * 9 = 4.5 * m_m.
6. В момент, когда монета покинула горку, вся ее потенциальная энергия превратилась в кинетическую энергию:
PE_initial = KE_m + KE_g,
где KE_g - кинетическая энергия горки.
7. Так как горка покоилась, её начальная энергия была нулевая. Следовательно:
4.905 * m_m = 4.5 * m_m + KE_g.
8. Найдем KE_g:
KE_g = 4.905 * m_m - 4.5 * m_m = 0.405 * m_m.
9. Теперь выразим KE_g через массу горки:
KE_g = (1/2) * M * v_g².
10. Подставим KE_g в уравнение:
0.405 * m_m = (1/2) * M * v_g².
11. Из уравнения сохранения импульса v_g = - (m_m/M) * v_m подставляем его в уравнение для KE_g:
0.405 * m_m = (1/2) * M * (- (m_m/M) * v_m)²
=> 0.405 * m_m = (1/2) * M * (m_m²/M²) * v_m².
12. Упростим уравнение:
0.405 * m_m = (1/2) * (m_m² * v_m² / M)
=> 0.405 * m_m * M = (1/2) * m_m² * v_m².
13. Упрощаем для M:
M = (m_m * v_m²) / (0.81).
14. Теперь найдём скорости:
v_g = - (m_m / M) * v_m,
v_g = - (m_m / ((m_m * v_m²) / (0.81))) * v_m
v_g = - (0.81 / v_m) = - (0.81 / 3) = - 0.27 м/с.
Ответ:
Скорость горки будет равна приблизительно -0.27 м/с (отрицательный знак указывает на направление движения в противоположную сторону).