Дано:
- масса шарика m = 10 г = 0,01 кг,
- угол наклона нити θ = 30°,
- радиус полусферы R = 10 см = 0,1 м,
- горизонтальная скорость v = 0,5 м/с.
Найти:
а) силу, с которой шарик давит на полусферу F_N,
б) минимальную скорость v_min, при которой шарик не давит на полусферу.
Решение:
а) Сначала найдем силы, действующие на шарик. На шарик действуют:
1. Сила тяжести mg, направленная вниз.
2. Нормальная сила N, направленная перпендикулярно поверхности полусферы.
Составим уравнение для вертикальной составляющей сил. Вертикальная составляющая нормальной силы N и вес шарика mg связаны с углом θ:
N * cos(θ) = mg.
Подставим известные значения:
N * cos(30°) = 0,01 * 9,81.
cos(30°) = √3 / 2 ≈ 0,866.
Тогда:
N * 0,866 = 0,0981,
N = 0,0981 / 0,866 ≈ 0,1136 Н.
Теперь найдём силу давления F_N шарика на полусферу. Она равна нормальной силе N, поэтому:
F_N = N ≈ 0,1136 Н.
б) Для того чтобы шарик не давил на полусферу, нормальная сила N должна быть равна нулю. Это возможно, когда centripetal acceleration полностью обеспечивается только компонентами силы тяжести.
В этом случае:
mg * sin(θ) = m * (v_min^2 / R).
Сократим массу m:
g * sin(θ) = v_min^2 / R.
Из этого выражения найдём минимальную скорость v_min:
v_min^2 = g * sin(θ) * R.
Подставим значения g = 9,81 м/с², R = 0,1 м и sin(30°) = 0,5:
v_min^2 = 9,81 * 0,5 * 0,1.
v_min^2 = 0,4905,
v_min = sqrt(0,4905) ≈ 0,7 м/с.
Ответ:
а) Сила, с которой шарик давит на полусферу, составляет примерно 0,1136 Н.
б) Минимальная скорость шарика, при которой он не будет давить на полусферу, составляет примерно 0,7 м/с.