Дано:
- n – число солдат в колонне.
Найти:
- математическое ожидание числа солдат, которых видит командир.
Решение:
1. Каждый солдат имеет разную высоту, которую можно обозначить как случайную величину. Пусть высоты солдат являются независимыми и равномерно распределенными на интервале от 0 до 1.
2. Командир видит солдата, если его высота больше всех высот тех солдат, которые стоят перед ним. Таким образом, для каждого солдата, стоящего в колонне, необходимо определить, будет ли он виден.
3. Рассмотрим k-й солдат (где k = 1, 2, ..., n). Он будет виден, если его высота больше максимума высот всех предыдущих солдат.
4. Вероятность того, что k-й солдат будет виден, равна 1/k. Это связано с тем, что в случае равномерного распределения любой из k высот с равной вероятностью может быть максимальной.
5. Таким образом, математическое ожидание числа видимых солдат E(V) можно найти по следующей формуле:
E(V) = сумма от k=1 до n (1/k).
6. Эта сумма называется гармоническим числом и обозначается H_n:
H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.
7. При больших n гармоническое число можно аппроксимировать следующей формулой:
H_n ≈ ln(n) + γ,
где γ - постоянная Эйлера (примерно 0.577).
Ответ:
Математическое ожидание числа солдат, которых видит командир, равно H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.