Дано:
- Фрякс имеет 10 троек носков, то есть всего 30 носков.
- Каждая тройка состоит из трех одинаковых носков.
Найти:
Математическое ожидание числа троек неразлучных носков.
Решение:
Обозначим количество оригинальных троек носков как N = 10. Каждый фрякс поднял 30 носков и случайным образом собрал их обратно в 10 троек.
1. Определим общее количество способов выбрать 3 носка из 30. Это можно сделать с помощью комбинаторики:
C(30, 3) = 30! / (3!(30 - 3)!) = (30 * 29 * 28) / (3 * 2 * 1) = 4060.
2. Теперь определим количество способов, при которых мы получаем одну конкретную тройку носков, например, тройку A. Эта тройка может быть выбрана только одним способом, так как все носки в тройке идентичны.
3. Вернемся к ожиданию. Мы сосчитаем математическое ожидание для каждой тройки: пусть X_i — случайная величина, равная 1, если i-я тройка неразлучна, и 0 в противном случае.
4. Вероятность того, что конкретная тройка носков останется неразлучной, равна количеству благоприятных случаев к общему количеству случаев:
P(X_i = 1) = C(3, 3) * C(27, 7) / C(30, 10) = 1 * C(27, 7) / C(30, 10).
Где C(27, 7) - это количество способов выбрать 7 носков из 27 оставшихся, а C(30, 10) - это количество способов выбрать 10 носков из 30.
5. Подсчитаем C(27, 7) и C(30, 10):
C(27, 7) = 27! / (7! * 20!) = (27 * 26 * 25 * 24 * 23 * 22 * 21) / (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 888030.
C(30, 10) = 30! / (10! * 20!) = (30 * 29 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24 * 23 * 22 * 21) / (10!) = 30045015.
6. Теперь подставляем значения вероятностей:
P(X_i = 1) = 1 * 888030 / 30045015 ≈ 0.0295.
7. Математическое ожидание суммы всех троек:
E(X) = E(X_1 + X_2 + ... + X_{10}) = 10 * P(X_i = 1) = 10 * 0.0295 ≈ 0.295.
Ответ:
Математическое ожидание числа троек неразлучных носков равно примерно 0.295.