Дано:
- Две колоды по 36 карт.
- Каждая колода хорошо перетасована.
- Составлены случайные пары из карт: одна из первой колоды и одна из второй.
Найти:
а) Вероятность того, что в первой паре окажутся две одинаковые карты.
б) Вероятность того, что в первых двух парах окажутся одинаковые карты.
в) Математическое ожидание числа пар, где карты совпали.
Решение:
а) Для первой пары вероятность того, что карты совпадут, равна отношению количества подходящих карт к общему количеству карт во второй колоде. В первой колоде выбрана любая карта (например, карта A), во второй колоде есть только одна такая же карта.
Вероятность совпадения для первой пары:
P(совпадение первой пары) = количество совпадающих карт / общее количество карт во второй колоде = 1 / 36.
б) Для первых двух пар вероятность совпадения будет зависеть от результатов первой пары. Если первая пара совпала, то для второй пары остается 35 карт, среди которых одна совпадающая.
Вероятность того, что обе пары совпадут:
P(совпадение первой пары) * P(совпадение второй пары | совпадение первой пары) + P(несовпадение первой пары) * P(совпадение второй пары | несовпадение первой пары).
P(совпадение первой пары) = 1 / 36.
P(совпадение второй пары | совпадение первой пары) = 1 / 35.
P(несовпадение второй пары | несовпадение первой пары) = 1 / 36.
Таким образом:
P(совпадение обеих пар) = (1/36)*(1/35) + (35/36)*(1/36)
= 1/1260 + 35/1296
= 0.0016 примерно.
в) Обозначим случайную величину X как количество пар, где карты совпадают. Ожидаемое количество совпадений для каждой пары равно вероятности совпадения одной пары, умноженной на общее количество пар (36):
E(X) = n * P(совпадение одной пары),
где n = 36.
E(X) = 36 * (1 / 36) = 1.
Ответ:
а) Вероятность того, что в первой паре окажутся две одинаковые карты, равна 1/36.
б) Вероятность того, что в первых двух парах окажутся одинаковые карты, равна примерно 0.0016.
в) Математическое ожидание числа пар, где карты совпали, равно 1.