Дано:
У Джо: 2 доллара
У Хью: 1 доллар
Найти:
Вероятность того, что выиграет Хью.
Решение:
Обозначим вероятность выигрыша Хью как P(H). Хью выигрывает, если он первым достигает 3 доллара.
Есть два возможных исхода первого броска:
1. Выпадает орёл (Джо отдаёт доллар Хью):
В этом случае у Джо 1 доллар, а у Хью 2 доллара. Вероятность этого исхода равна 0.5.
Обозначим вероятность выигрыша Хью в этой ситуации как P(H|1, 2).
2. Выпадает решка (Хью отдаёт доллар Джо):
В этом случае у Джо 3 доллара, а у Хью 0 долларов. Вероятность этого исхода также равна 0.5.
Вероятность выигрыша Хью в этой ситуации равна 0, так как у него нет денег.
Теперь запишем уравнение для P(H):
P(H) = 0.5 * P(H|1, 2) + 0.5 * 0
Теперь найдем P(H|1, 2):
Находясь в состоянии (1, 2), если выпадает орёл, у нас будет (0, 3), и Хью выиграет. Если выпадает решка, у нас (2, 1).
Таким образом,
P(H|1, 2) = 0.5 * 1 + 0.5 * P(H|2, 1)
Теперь найдем P(H|2, 1):
Аналогично, при (2, 1):
P(H|2, 1) = 0.5 * P(H|1, 2) + 0.5 * 0
P(H|2, 1) = 0.5 * P(H|1, 2)
Теперь у нас есть система уравнений:
1. P(H) = 0.5 * P(H|1, 2)
2. P(H|1, 2) = 0.5 + 0.5 * P(H|2, 1)
3. P(H|2, 1) = 0.5 * P(H|1, 2)
Подставим P(H|2, 1) в уравнение для P(H|1, 2):
P(H|1, 2) = 0.5 + 0.5 * (0.5 * P(H|1, 2))
P(H|1, 2) = 0.5 + 0.25 * P(H|1, 2)
0.75 * P(H|1, 2) = 0.5
P(H|1, 2) = 0.5 / 0.75 = 2/3
Теперь найдем P(H):
P(H) = 0.5 * (2/3) = 1/3
Ответ:
Вероятность того, что выиграет Хью, равна 1/3.
Теперь перейдём к части б.
Дано:
У Джо: 3 доллара
У Хью: 2 доллара
Найти:
Вероятность того, что выиграет Хью.
Решение:
Обозначим вероятность выигрыша Хью как P(H). Хью выигрывает, если он первым достигает 5 долларов.
На первом броске могут быть следующие исходы:
1. Выпадает орёл (Джо отдаёт доллар Хью):
У Джо 2 доллара, у Хью 3 доллара. Вероятность этого исхода 0.5.
Обозначим вероятность выигрыша Хью в этом состоянии как P(H|2, 3).
2. Выпадает решка (Хью отдаёт доллар Джо):
У Джо 4 доллара, у Хью 1 доллар. Вероятность этого исхода 0.5.
Вероятность выигрыша Хью в этом состоянии обозначим как P(H|4, 1).
Теперь запишем уравнение для P(H):
P(H) = 0.5 * P(H|2, 3) + 0.5 * P(H|4, 1)
Теперь найдем P(H|2, 3):
Если выпадает орёл, будет (1, 4) и Хью выигрывает, если (3, 2):
P(H|2, 3) = 0.5 * 1 + 0.5 * P(H|3, 2)
Для P(H|4, 1):
Если выпадает орёл, (3, 2), если решка (4, 0) - Хью не выиграет:
P(H|4, 1) = 0.5 * P(H|3, 2) + 0.5 * 0
Теперь у нас система уравнений:
1. P(H) = 0.5 * P(H|2, 3) + 0.5 * P(H|4, 1)
2. P(H|2, 3) = 0.5 + 0.5 * P(H|3, 2)
3. P(H|4, 1) = 0.5 * P(H|3, 2)
Подставим P(H|4, 1) в P(H):
P(H) = 0.5 * P(H|2, 3) + 0.5 * (0.5 * P(H|3, 2))
Подставим P(H|2, 3):
P(H|2, 3) = 0.5 + 0.5 * P(H|3, 2)
P(H) = 0.5 * (0.5 + 0.5 * P(H|3, 2)) + 0.5 * (0.5 * P(H|3, 2))
Обозначим P(H|3, 2) как x:
P(H) = 0.25 + 0.25 * x + 0.25 * x
P(H) = 0.25 + 0.5 * x
Теперь найдём x:
P(H|3, 2) = 0.5 * P(H|2, 3) + 0.5 * 1
x = 0.5 * P(H|2, 3) + 0.5
x = 0.5 * (0.5 + 0.5 * x) + 0.5
x = 0.25 + 0.25 * x + 0.5
0.75 * x = 0.75
x = 1
Теперь можем подставить обратно:
P(H) = 0.25 + 0.5 * 1
P(H) = 0.25 + 0.5 = 0.75
Ответ:
Вероятность того, что выиграет Хью, равна 0.75.