Дано:
Длина грифеля: 1 м.
Две случайные точки разбиения: x1 и x2, где 0 < x1 < x2 < 1.
Найти:
Вероятность того, что из трех частей можно составить треугольник.
Решение:
1. После разбиения грифеля на три части, длины частей будут:
l1 = x1,
l2 = x2 - x1,
l3 = 1 - x2.
2. Чтобы из трех отрезков можно было составить треугольник, необходимо выполнить неравенство треугольника, а именно:
l1 + l2 > l3,
l1 + l3 > l2,
l2 + l3 > l1.
3. Подставим длины частей в неравенства:
- x1 + (x2 - x1) > (1 - x2)
- x1 + (1 - x2) > (x2 - x1)
- (x2 - x1) + (1 - x2) > x1.
4. Упростим каждое неравенство:
1. x2 > 1 - x2 => 2x2 > 1 => x2 > 0.5.
2. 1 - x2 + x1 > x2 - x1 => 1 + 2x1 > 2x2 => x1 > x2 - 0.5.
3. 1 - x1 > x1 => 1 > 2x1 => x1 < 0.5.
5. Теперь проанализируем область допустимых значений.
Неравенства дают следующие ограничения:
x1 < 0.5,
x2 > 0.5,
x1 > x2 - 0.5.
6. Поскольку x1 и x2 распределены равномерно по отрезку (0, 1), можно представить эту задачу на координатной плоскости с осью x1 и осью x2, где x1 и x2 принимают значения от 0 до 1.
7. Рассмотрим область, описанную неравенствами.
- x1 < 0.5: это линия, делящая плоскость на две части.
- x2 > 0.5: это горизонтальная линия на уровне 0.5.
- x1 > x2 - 0.5: это прямая, имеющая наклон 1 и проходящая через точку (0.5, 0).
8. Найдем пересечение областей:
- Площадь, где выполняются все три условия, образует треугольник с вершинами (0, 0.5), (0.5, 1), (0.5, 0.5).
9. Площадь всего квадрата (0,0) - (1,1) равна 1 м², а площадь треугольника:
S = 0.5 * основание * высота = 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125 м².
10. Вероятность:
P = S_треугольника / S_квадрата = 0.125 / 1 = 0.125.
Ответ:
Вероятность того, что из трех частей можно составить треугольник, равна 0.125 или 12.5%.