Дано:
- Тонкий стержень длиной L.
- Стержень ломают в двух случайных точках.
Найти:
Вероятность того, что из трех образовавшихся частей можно сложить треугольник.
Решение:
1. Обозначим точки разлома как X и Y. Пусть X < Y, тогда у нас есть три части стержня:
- A = X
- B = Y - X
- C = L - Y
2. Для того чтобы из этих трех отрезков можно было составить треугольник, необходимо выполнить условия неравенства треугольника:
- A + B > C
- A + C > B
- B + C > A
3. Подставим значения A, B и C:
- X + (Y - X) > (L - Y) => Y > L/2
- X + (L - Y) > (Y - X) => X + L - Y > Y - X => L - 2Y + 2X > 0 => 2X > 2Y - L => X > Y - L/2
- (Y - X) + (L - Y) > X => L - 2X > 0 => X < L/2
4. Теперь проанализируем область, где выполняются вышеуказанные неравенства.
5. Так как X и Y выбираются случайно на отрезке [0, L], можно рассмотреть квадрат с координатами (X, Y), ограниченный отрезками от 0 до L. Это квадрат со стороной L.
6. Условия неравенств описывают треугольную область внутри квадрата. Эта область будет определяться следующим образом:
- Условие Y > L/2 задаёт горизонтальную линию, проходящую через L/2.
- Условие Y < X + L/2 задаёт диагональ, которая проходит от точки (L/2, L) до (L, L).
7. Площадь всего квадрата равна L^2.
8. Найдем площадь области, где все условия выполнены. Это будет треугольник, основание которого равно L/2 и высота тоже L/2.
Площадь этого треугольника:
S = (1/2) * (L/2) * (L/2) = L^2 / 8.
9. Вероятность P будет равна отношению площади треугольника к площади квадрата:
P = (L^2 / 8) / (L^2) = 1/8.
Ответ:
Вероятность того, что из трех образовавшихся частей можно сложить треугольник, равна 1/4.