Дано:
- Общее количество зрителей (N) = 1000
- Вероятность, с которой все зрители должны раздеться в своём гардеробе (P) = 0.9
Найти:
Количество мест в каждом гардеробе, чтобы в среднем в 9 случаях из 10 все зрители могли раздеться.
Решение:
1. Обозначим количество мест в каждом гардеробе как x. Поскольку у нас два гардероба, общее количество мест будет 2x.
2. Нам нужно убедиться, что вероятность того, что больше 1000 зрителей придет к одному гардеробу, равна 0.1 (это 1 - P).
3. Это можно рассмотреть как задачу о распределении зрителей между двумя гардеробами. Если предположить, что входящие зрители равномерно распределены между двумя гардеробами, то по закону больших чисел можно считать, что количество зрителей, пришедших в один гардероб, будет нормально распределено с параметрами:
- Среднее значение (μ) = N/2 = 1000/2 = 500
- Стандартное отклонение (σ) = √(N/2) = √(1000/2) = √500 ≈ 22.36
4. Теперь определим Z-значение для верхней границы, соответствующее вероятности 0.1. Для этого нам нужно найти Z(0.9), так как мы ищем верхнюю границу. По таблице стандартного нормального распределения, Z(0.9) ≈ 1.2816.
5. Убедимся, что в гардеробе достаточно мест для получения требуемой вероятности:
x ≥ μ + Z * σ
x ≥ 500 + 1.2816 * 22.36
x ≥ 500 + 28.66 ≈ 528.66
6. Округляем до целого числа, так как количество мест должно быть целым:
x ≈ 529
Ответ:
В каждом гардеробе должно быть не менее 529 мест, чтобы в среднем в 9 случаях из 10 все зрители могли раздеться в своём гардеробе.