дано: Общее количество мест в театре N = 1000. Вероятность P = 0,9 (9 случаев из 10).
найти: Необходимое количество мест в каждом гардеробе.
Решение:
Для того чтобы обеспечить возможность раздеться всем зрителям с вероятностью 0,9, нужно учесть распределение зрителей по двум входам и соответственно по двум гардеробам.
Предположим, что зрители распределяются равномерно между двумя входами. Тогда каждый вход будет иметь в среднем N/2 = 1000/2 = 500 человек.
Обозначим количество мест в каждом гардеробе как x. Таким образом, если все 1000 зрителей одновременно попытаются раздеться, мы можем использовать принцип распределения для определения необходимого количества мест.
Согласно центральной предельной теореме, сумма двух нормально распределенных величин также будет нормально распределенной. В нашем случае, количество людей, которые захотят воспользоваться каждым гардеробом, можно принять за нормальное распределение с матожиданием 500 и стандартным отклонением σ.
Стандартное отклонение для числа людей в гардеробах при равномерном распределении можно оценить как:
σ = sqrt(N/2) = sqrt(1000/2) = sqrt(500) ≈ 22,36.
Теперь нам необходимо определить такое количество мест x, чтобы вероятность того, что в гардеробе окажется больше x человек, была не более 0,1. То есть нам надо найти значение x, для которого:
P(X > x) ≤ 0,1.
Это эквивалентно тому, чтобы найти значение z такое, что:
P(Z < z) = 0,9.
Согласно таблице стандартного нормального распределения, z ≈ 1,28 для этого значения вероятности.
Теперь можем выразить x через среднее и стандартное отклонение:
x = N/2 + z * σ
x = 500 + 1,28 * 22,36 ≈ 500 + 28,6 ≈ 528,6.
Поскольку количество мест должно быть целым числом, округляем до ближайшего целого числа:
x ≈ 529.
Ответ: Необходимо, чтобы в каждом гардеробе было не менее 529 мест, чтобы в среднем в 9 случаях из 10 все зрители могли раздеться в своем гардеробе.