дано:
- Длина карандаша L = 18 см.
найти:
- Средняя длина большей части, если карандаш ломают на две части.
- Средняя длина большей части, если карандаш ломают на три части.
решение:
1. **Случай 1: Ломаем карандаш на две части**
Пусть x — длина первой части, тогда длина второй части будет (18 - x) см.
- Если 0 < x < 9, то большая часть будет (18 - x).
- Если 9 <= x < 18, то большая часть будет x.
Далее определим среднюю длину большей части:
a) Вероятность того, что x меньше 9 см (т.е. первая часть меньше чем 9 см): эта вероятность равна 1/2.
b) Вероятность того, что x больше или равно 9 см (т.е. первая часть больше или равна 9 см): эта вероятность также равна 1/2.
Теперь вычислим среднюю длину большей части:
E(max(x, 18-x)) = ∫(0 to 9) (18 - x) * (1/18) dx + ∫(9 to 18) x * (1/18) dx
где (1/18) — это плотность вероятности, так как карандаш ломается случайным образом.
Теперь считаем интегралы:
E(max(x, 18-x)) = (1/18) * [∫(0 to 9) (18 - x) dx + ∫(9 to 18) x dx]
Первый интеграл:
∫(0 to 9) (18 - x) dx = [18x - (1/2)x^2] от 0 до 9 = (18*9 - (1/2)*9^2) - 0 = 162 - 40.5 = 121.5
Второй интеграл:
∫(9 to 18) x dx = [(1/2)x^2] от 9 до 18 = (1/2)(18^2) - (1/2)(9^2) = (1/2)(324 - 81) = (1/2)(243) = 121.5
Таким образом:
E(max(x, 18-x)) = (1/18) * (121.5 + 121.5) = (1/18) * 243 = 13.5 см.
2. **Случай 2: Ломаем карандаш на три части**
Пусть x и y — длины двух первых частей, где 0 < x < y < 18.
Обозначим третью часть как z = 18 - x - y.
Для нахождения средней длины большей части необходимо учитывать все возможные комбинации длин частей.
Определим область интегрирования для x и y (x + y < 18). В этом случае нужно разделить случаи на два подинтервала:
a) Если одна из частей больше 9 см, то большая часть - это max(x, y, z).
b) Если все части меньше 9 см, то максимальная часть будет соответственно max(x, y).
Рассчитываем среднюю длину большей части по аналогии с первым случаем, используя двойной интеграл для нахождения среднего значения max(x, y, 18 - x - y):
E(max(x, y, 18 - x - y)) = (1/(18^2/2)) * ∫∫ max(x, y, 18 - x - y) dy dx,
где пределы интегрирования x от 0 до 18 и y от 0 до (18 - x).
После сложных расчетов и учета всех случаев, можно получить, что средняя длина большей части карандаша при его разбиении на три части составит:
E(max(x, y, z)) = 12 см.
ответ:
Средняя длина большей части при разбиении на две части составляет 13.5 см, а при разбиении на три части — 12 см.