дано: E(X) = 10 кг (математическое ожидание массы арбуза), σ = 2 кг (стандартное отклонение массы арбуза), масса в 1 т = 1000 кг.
найти: P(N ≤ 105), где N - количество арбузов в 1 т.
Сначала найдем ожидаемое количество арбузов в 1 т.
Ожидаемое количество арбузов:
E(N) = масса в 1000 кг / E(X) = 1000 / 10 = 100 арбузов.
Теперь найдем стандартное отклонение количества арбузов в 1 т. Для этого используем свойство, что стандартное отклонение суммы равняется стандартному отклонению одного арбуза, деленному на массу одного арбуза и умноженному на общее количество массы:
n = 1000 / 10 = 100 арбузов.
Стандартное отклонение количества арбузов:
σ(N) = n * σ(X) / E(X).
Так как у нас есть 1000 кг, то подставляем значения:
σ(N) = (1000 / 10) * 2 = 100 * 2 / 10 = 20 арбузов.
Теперь мы можем рассчитать Z-значение для N = 105:
Z = (N - E(N)) / σ(N)
Подставим значения:
Z = (105 - 100) / 20 = 5 / 20 = 0.25.
Теперь находим вероятность P(N ≤ 105), что эквивалентно P(Z ≤ 0.25).
Используя таблицу стандартного нормального распределения, найдем:
P(Z ≤ 0.25) ≈ 0.5987.
ответ: P(N ≤ 105) ≈ 0.5987, что означает, что вероятность того, что в 1 т окажется не более 105 арбузов, составляет примерно 59.87%.