дано: E(X) = 200 г (математическое ожидание массы яблока), σ = 50 г (стандартное отклонение массы яблока), масса в 100 кг = 100000 г.
найти: P(N ≥ 490), где N - количество яблок в 100 кг.
Для начала найдем ожидаемое количество яблок в 100 кг.
Ожидаемое количество яблок:
E(N) = масса в 100000 г / E(X) = 100000 / 200 = 500 яблок.
Теперь найдем стандартное отклонение количества яблок в 100 кг. Для этого используем формулу для расчета стандартного отклонения суммы, которое вычисляется как стандартное отклонение одного яблока деленное на массу одного яблока и умноженное на общее количество массы:
σ(N) = масса в 100000 г / E(X) * σ(X).
Так как у нас есть 100000 г, то:
n = 100000 / 200 = 500.
Стандартное отклонение количества яблок:
σ(N) = sqrt(n) * σ(X) / E(X) = sqrt(500) * 50 / 200 = sqrt(500) * 0.25.
Теперь мы можем рассчитать Z-значение для N = 490:
Z = (N - E(N)) / σ(N)
Подставляем значения:
Z = (490 - 500) / (sqrt(500) * 0.25) = (-10) / (sqrt(500) * 0.25).
Теперь вычислим значение sqrt(500):
sqrt(500) ≈ 22.36.
Подставляем обратно:
Z ≈ (-10) / (22.36 * 0.25) = -10 / 5.59 ≈ -1.79.
Теперь находим вероятность P(N ≥ 490), что эквивалентно P(Z ≥ -1.79).
Используя таблицу стандартного нормального распределения, найдем:
P(Z ≤ -1.79) ≈ 0.0367.
Следовательно,
P(Z ≥ -1.79) = 1 - P(Z ≤ -1.79) ≈ 1 - 0.0367 ≈ 0.9633.
ответ: P(N ≥ 490) ≈ 0.9633, что означает, что вероятность того, что в 100 кг окажется не менее 490 яблок, составляет примерно 96.33%.