Случайным образом независимо друг от друга разыгрываются n целых чисел из диапазона от 1 до n. Чему равно среднее количество полученных при этом различных чисел?
от

1 Ответ

Дано:
Количество разыгрываемых целых чисел: n.  
Диапазон значений: от 1 до n.

Найти:
Среднее количество различных чисел, полученных в результате розыгрыша.

Решение:
Обозначим X - количество различных чисел, полученных после розыгрыша. Мы можем использовать метод математического ожидания для нахождения E(X).

1. Рассмотрим событие Ai, которое обозначает, что i-ое число (где i = 1, 2, ..., n) было получено хотя бы один раз.
2. Вероятность того, что конкретное число i не будет выбрано за n попыток, равна (n - 1)/n, так как у нас остается n - 1 других чисел, которые могут быть выбраны.
3. Следовательно, вероятность того, что конкретное число i будет получено хотя бы один раз, равна:
   P(Ai) = 1 - ((n - 1)/n)^n.

4. Теперь можно найти математическое ожидание E(X):
   E(X) = сумма от i=1 до n P(Ai) = n * P(Ai).

Подставляем значение P(Ai):
E(X) = n * (1 - ((n - 1)/n)^n).

5. Упростим выражение:
((n - 1)/n)^n = (1 - 1/n)^n. При n стремящемся к бесконечности это приближается к e^(-1). Однако для конечных n мы можем оставить его в исходной форме.

Таким образом, выражение для E(X) остается в следующем виде:
E(X) = n * (1 - (1 - 1/n)^n).

Ответ: Среднее количество различных чисел составляет n * (1 - (1 - 1/n)^n).
от