Дано:
- Диапазон целых чисел от 1 до n.
- Количество получаемых чисел: k.
Найти:
а) Вероятность того, что первое число будет 1, второе — 2, третье — 3.
б) Вероятность того, что первые три числа будут 1, 2, 3 в любом порядке.
в) Вероятность того, что все k раз появится одно и то же число.
г) Вероятность того, что все k чисел будут разными.
Решение:
а) Вероятность того, что первое число будет 1, второе — 2, третье — 3.
Общее количество возможных последовательностей из k чисел: n^k.
Количество благоприятных исходов (последовательность 1, 2, 3 и остальные числа произвольные):
1 способ для первых трех чисел (1, 2, 3) и (n-3)^(k-3) способов для остальных.
Вероятность:
P(1, 2, 3) = 1 * (n - 3)^(k - 3) / n^k = (n - 3)^(k - 3) / n^k.
б) Вероятность того, что первые три числа будут 1, 2, 3 в любом порядке.
Количество способов расположить 1, 2, 3: 3! = 6.
Количество способов для оставшихся k - 3 чисел: (n - 3)^(k - 3).
Вероятность:
P(1, 2, 3 в любом порядке) = 6 * (n - 3)^(k - 3) / n^k.
в) Вероятность того, что все k раз появится одно и то же число.
Выбираем одно число (n вариантов) и оно должно повториться k раз.
Вероятность:
P(одно и то же число) = n / n^k = 1 / n^(k - 1).
г) Вероятность того, что все k чисел будут разными.
Выбираем k разных чисел из n.
Количество способов выбрать k чисел: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).
Количество способов расположить эти k чисел: k!.
Вероятность:
P(все разные) = (C(n, k) * k!) / n^k = n! / (n - k)! / n^k = n! / (n^k * (n - k)!).
Ответ:
а) Вероятность того, что первое число будет 1, второе — 2, третье — 3, составляет (n - 3)^(k - 3) / n^k.
б) Вероятность того, что первые три числа будут 1, 2, 3 в любом порядке, составляет 6 * (n - 3)^(k - 3) / n^k.
в) Вероятность того, что все k раз появится одно и то же число, составляет 1 / n^(k - 1).
г) Вероятность того, что все k чисел будут разными, составляет n! / (n^k * (n - k)!).