Дано:
- Количество бросков кубика: n = 6
- Вероятность получения двоек при одном броске: p = 1/6
- Вероятность получения не двоек: q = 1 - p = 5/6
Найти:
Наиболее вероятное число двоек (k) при 6 бросках.
Решение:
Для нахождения наиболее вероятного числа двоек используем целую часть (n * p), что в данном случае будет:
k_max = n * p = 6 * (1/6) = 1
Поскольку количество двоек (k) должно быть целым числом, мы рассматриваем значения k = 1 и k = 2, чтобы выяснить, какое из них имеет наибольшую вероятность.
Теперь вычислим вероятности для k = 1 и k = 2 с помощью формулы биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)
Вычислим для k = 1:
C(6, 1) = 6! / (1! * (6 - 1)!) = 6! / (1! * 5!) = 6
P(X = 1) = C(6, 1) * (1/6)^1 * (5/6)^(6-1) = 6 * (1/6)^1 * (5/6)^5
= 6 * (1/6) * (5^5 / 6^5) = 6 * (1/6) * (3125 / 7776) = 3125 / 1296
Теперь для k = 2:
C(6, 2) = 6! / (2! * (6 - 2)!) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15
P(X = 2) = C(6, 2) * (1/6)^2 * (5/6)^(6-2) = 15 * (1/6)^2 * (5/6)^4
= 15 * (1/36) * (625 / 1296) = 15 * (625 / 46656) = 9375 / 46656
Сравнивая вероятности:
P(X = 1) = 3125 / 1296 ≈ 0.2419
P(X = 2) = 9375 / 46656 ≈ 0.2007
Ответ:
Наиболее вероятное число двоек — 1.