Дано:
- Количество бросков монеты: n = 5
- Вероятность получения орла при одном броске: p = 0.5
- Вероятность получения решки: q = 1 - p = 0.5
Найти:
Наиболее вероятное число орлов (k) при 5 бросках.
Решение:
Для нахождения наиболее вероятного числа орлов используем биномиальное распределение. Наиболее вероятное значение задачи можно определить как целую часть (n * p), что в данном случае будет:
k_max = n * p = 5 * 0.5 = 2.5
Поскольку количество орлов (k) должно быть целым числом, мы рассматриваем значения k = 2 и k = 3, чтобы выяснить, какое из них имеет наибольшую вероятность.
Теперь вычислим вероятности для k = 2 и k = 3 с помощью формулы биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)
Вычислим для k = 2:
C(5, 2) = 5! / (2! * (5 - 2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10
P(X = 2) = C(5, 2) * (0.5)^2 * (0.5)^(5-2) = 10 * (0.5)^2 * (0.5)^3 = 10 * (0.5)^5 = 10 / 32 = 0.3125
Теперь для k = 3:
C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10
P(X = 3) = C(5, 3) * (0.5)^3 * (0.5)^(5-3) = 10 * (0.5)^3 * (0.5)^2 = 10 * (0.5)^5 = 10 / 32 = 0.3125
Сравнивая вероятности:
P(X = 2) = 0.3125
P(X = 3) = 0.3125
Ответ:
Наиболее вероятные значения числа орлов — 2 и 3.